Делите у друштву. мреже:


Управљање ваздухопловним моторима Управно право Административно право Белорусија Алгебра Архитектура Безбедност живота Увод у професију "психолог" Увод у економију културе Висока математика Геологија Геоморфологија Хидрологија и хидрометрија Хидросистеми и хидрауличне машине Историја Украјине Културологија Културологија Логика Маркетинг Машинско инжењерство Медицинска психологија Управљање Метали и технике заваривања Хроматолошке стратегије економија Нацртна геометрија Основи економске т Ориа Безбедност Фире Тактика процеси и структуре мисли Профессионал Псицхологи Псицхологи Психологија менаџмента модерног фундаменталних и примењених истраживања у инструменти социјална психологија социјална и филозофским проблемима Социологи Статистика Теоријске основе рачунара аутоматска контрола теорија вероватноћа транспорт Закон Туроператор Кривични закон о кривичном поступку управљања савременим производним Пхисицс физичких појава Филозофска расхладна постројења и Екологија Економија Историја економије Основи економије Економија предузећа Економска историја Економска теорија Економска анализа Развој економије ЕУ Хитне ситуације ВКонтакте Одноклассники Мој свет Фацебоок ЛивеЈоурнал Инстаграм

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И АКЦИЈЕ ОВДЕ




Садржај

§1. КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И АКЦИЈЕ ОВДЕ
§2 СЕКЦИЈА КОМПЛЕКСНИХ БРОЈА СА СЕРИЈИМА СА КОМПЛЕКСНИМ ЧЛАНОВИМА
§3. ФУНКЦИЈЕ КОМПЛЕКСНОГ ВАРИАБЛЕ
§4 ЛИМИТ КОМПЛЕКСНЕ ВАРИЈАБИЛНЕ ФУНКЦИЈЕ. ЦОНТИНУИТИ
§5. ДИФЕРЕНЦИЈАЦИЈА ФУНКЦИЈА КОМПЛЕКСНОГ ВАРИЈАБОЛСКОГ УРЕЂАЈА КОШИ-РИМАНА
§6 ИНТЕГРАЛ ИЗ КОМПЛЕКСНЕ ВАРИЈАБИЛНЕ ФУНКЦИЈЕ
§7. Интегрална теорема Коши. Цауцхи Формула
§8. УНИФОРМНА КОНВЕРГЕНЦИЈА ФУНКЦИОНАЛНЕ СЕРИЈЕ АБЕЛОВА ТЕОРИЈА
§9. ТАИЛОР РАНГЕ АНАЛИТИЧКЕ ФУНКЦИЈЕ
§10. ЛОРАН СЕРИЈА ИЗОЛИРАНЕ ПОСЕБНЕ ПОЧЕТКЕ
§11. ДЕДУЦТИОНС ОСНОВНА ТЕОРИЈА ЗАХТЕВА.
§12. ИЗРАЧУН ОДЛОЖЕНИХ ИНТЕГРАЛА У СМАЊЕМ СМАЊЕЊА
ЛИТЕРАТУРА

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И АКЦИЈЕ ОВДЕ

Чак и најједноставније алгебарске операције на стварним бројевима (извлачење квадратног корена негативног броја, решавање квадратне једначине са негативним дискриминантом) доноси је изван граница скупа стварних бројева. Даља генерализација концепта броја доводи до сложених бројева. Изузетна својства скупа сложених бројева је његова близина у односу на основне математичке операције. Другим речима, основне математичке операције на комплексним бројевима нису изведене из скупа сложених бројева.

Комплексни број ( у алгебарском облику ) је израз

где - произвољни стварни бројеви, - имагинарна јединица одређена условима .

Број назвао је прави део комплексног броја означено са (из латинске " реализације "), број названи имагинарни део комплексног броја и означава га (из латинског " имагинарија ").

Два сложена броја и једнако ако и само ако су њихови стварни и имагинарни делови једнаки: , . Два сложена броја су једнака или нису једнака (појмови "више" и "мање" за комплексне бројеве нису уведени).

Комплексан коњугат на број названог броја . Очигледно, комплекс - коњугатни број одговара броју : .

Аритметичке операције. Додавање, одузимање и множење комплексних бројева врши се у складу са уобичајеним правилима алгебре.

Нека , . Онда

сума ,

разлика ,

рад ,

квоциент (са )

Пример 1 Поставите сложене бројеве , .

Да нађем , , .

Одлука . ;

;

.

Задатак 1 . Нека и - пар комплексних коњугованих бројева. Покажите да је њихова сума прави број, разлика је имагинарни број, а производ је прави негативни број.




Пример 2 Да нађем , .

Одлука . ; .

,

Напомена Степен броја може се представити као табела

Пример 3. Множимо бројеве и .

Одлука .

Пример 4. Израчунајте а) ; б) ; ц) .

Одлука .

а) Отворите квадрат разлике:

.

б) Отворите суму коцке:

.

ц) Према Невтоновом биному :

.

Може се сматрати као: .

Пример 5. Пронађи приватно ако .

Одлука .

.

Пример 6. Израчунајте а) , б) .

Одлука . а) .

б) .

Запамтите:

Геометријска интерпретација комплексног броја.

Размислите о картесовском правоугаоним координатном систему. Ставите прави део на осовину абсциса комплексни број , а на и-оси - њеном имагинарном делу . Узми тачку са координатама . Поред тога, сваки комплексни број одговара једној тачки авиона. Супротно је тачно: свака тачка авионима се може доделити сложени број чији је прави део једнак точку абсциса, и имагинарни део једнака координатној тачки. Стога се успоставља једна-на-једна кореспонденција између комплексних бројева и тачака равни. (Раније смо разговарали о кореспонденцији између једног стварног броја између стварних бројева и тачака линије бројева).

Равнина чија тачке представљају комплексне бројеве назива се сложена равнина . Да бисте је разликовали од стварне равни у горњем десном углу напишите писмо окружен. Оса абсцисе на таквој равни назива се правом осе, а оса ордината назива се имагинарна ос. Комплексни коњугатни број је огледална слика датог комплексног броја о стварној оси. Порекло се зове нулта тачка. Растојање сложеног броја од порекла координата назива се модул овог броја:



.

Проблем 2. Докази .

Модул разлике два сложена броја је растојање између одговарајућих тачака:

.

У сваку тачку комплексне равни повезујемо вектор са почетком у тачки нуле и крај у том тренутку. Очигледно је да ова кореспонденција је једна-на-један. У овом тумачењу, стварни и имагинарни делови комплексног броја су прва и друга компонента вектора. Износ сада је представљена дијагоналом паралелограма изграђеног на вектору и разлика схваћено као . Модул комплексног броја је дужина вектора. Геометријски очигледна је неједнакост троугла у комплексној равни: .

Пример 7. Специфицирајте локус тачака на комплексној равни за коју

а) ; б) ;
ц) ; д) .

Одлука . а) Од онда се дужина двоструке неједнакости може преписати у облику: . Имаш вертикални трак.

б) Од затим преписати дати двоструку неједнакост у облику: . Имамо хоризонталну шипку. Задаци ц) и д) решавају независно.

Пример 8. Наведите локус тачака на комплексној равни за коју а) ; б) ; ц) .

Одлука . а) Модул комплексног броја Да ли је дужина вектора која иде од нуле до тачке и.е. растојање од порекла до тачке . Тако у случају говоримо о геометријској позицији тачака на равни еквивалентној од порекла - ово је круг (у овом случају, радијус круга је 1). Било је могуће превести проблем на језик картезијских координата:

.

б) Овде говоримо о геометријској локацији тачака изван круга радијуса (центрирано на почетку).

ц) тачке су у прстену између кругова полупречника и .

Пример 9. Навести локус тачака на комплексној равни за коју а) ; б) ; ц) .

Одлука . а) модул разлике Је раздаљина између тачке комплексна равнина и тачка 1. Дакле, говоримо о геометријској локацији тачака еквивалентних (на растојању 1) од тачке 1, круга с пречником 1 центрираном у тачки (1; 0). На језику координата:

.

б) Тачке су истовремено у кругу усредсређен на почетак и у кругу центрирано : .

ц) Ово су тачке десне половине равни лежи унутар круга : .

:

Тригонометријска форма комплексног броја. Сложени аргумент угао позива што чини вектор са позитивним правцем праве осе, . Овај угао је двосмислено одређен:

.

Овде - главна вредност аргумента, наглашена је неједнакостима (т.ј. сечење се врши на комплексној равни уз праву осу лево од порекла).

У првој колони специфициран за број лежи на стварној или имагинарној осе, ау другој колони - за све друге сложене бројеве.

Означите . Тако да , , онда се комплексни број може представити у тригонометријском облику :

.

Два сложена броја и дато у тригонометријској форми

, ,

на основу двосмислености аргумента једнако ако и само ако , .

Пример 10. Нађите модуле и аргументе, као и главне вредности аргумената комплексних бројева . Напишите сваку од њих у тригонометријској форми.

Одлука . Модули свих ових бројева су исти:

.

Аргумент сваког броја је пронађен, узимајући у обзир четвртину у којој се налази одговарајућа тачка.

1) тачка тада се налази у првом кварталу

.

У тригонометријској форми пребројани овде - учесталост косина и сине.

2) тачка тада је у другом кварталу

,

.

3) тачка тада лежи у трећем кварталу

,

.

.

4) тачка тада је у четвртом кварталу

,

.

.

Множење и подела комплексних бројева у тригонометријској форми. Пустите бројеве и дају се у тригонометријској форми: , . Помножите их:

.

Подсјећајући на формуле за косинус и синус суме два угла, добијамо

. (1)

Видимо да када се множе сложени бројеви, њихови модули се множе, а аргументи се додају. Геометријско значење ове операције: представља бројеве и вектори на сложеној равни, који потичу из нулте тачке, видимо да је вектор добијене из вектора "Стретцхинг" ин једном и угао окретања .

За приватно добијамо формулу:

. (2)

Пример 11. Пронађите производ и количник бројева

и .

Одлука . У складу са формулом (1) пишемо:

.

Проверите резултат множењем ових бројева у алгебарском облику:

.

Према формули (2) налазимо

.

У алгебарској форми, ова операција ће бити написана као:

.

Подизање комплексног броја на снагу. Из формуле (1) следи да је експоненцијација комплексни број произведено по правилу

. (3)

Пример 12. Израчунајте 1) ; 2) .

Одлука . 1) Горе, имамо запис сложеног броја у тригонометријској форми: . Према формули (3) налазимо . Исти резултат је добијен горе у примеру 4ц) користећи Невтон биномијал.

2) Пре свега, представимо број у тригонометријској форми.

, ,

поента тада је у четвртом кварталу . Због тога

.

Остаје да се користи формула (3):

.

Откривајући разлику коцке, добили смо исти резултат (проверите!).

Ат формула (3) претвара у формулу Моивреа :

. (4)

Уз помоћ, лако се добијају односи који изражавају сине и косине са више углова и .

Пример 13. Експрес и кроз и .

Одлука . Ставити у формулу Моивре , добијамо:

.

На левој страни отворите збирну коцку и сакупите сличне чланове:

.

Овде се узима у обзир то . Стигли смо на једнакост два сложена броја у алгебарском облику.

,

што је тачно ако и само ако су стварни и имагинарни делови ових бројева једнаки.

Једнакост делова даје ;

изједначавамо имагинарне делове, добијамо .

Извлачење корена из комплексног броја. Ако су комплексни бројеви и повезано са онда . Замислите бројеве и у тригонометријској форми:

, .

Претпоставићемо то овде - главна вредност броја аргумената .

Наш задатак је за одређени број (тј и ) дефине (тј. и ). У складу са формулом (3) једнакост написан у

.

Од једнакости два сложена броја у тригонометријском облику следи:

.

Овде - роот - моћ стварног не-негативног броја. Па за корен -на снага комплексног броја добити формулу

. (5)

Под претпоставком доследно хајде различита значења :

,

,

.

Сви ови корени имају исте модуле. и.е. одговарајуће тачке се налазе на кругу радијуса усредсређен на порекло. Аргументи два суседна корена разликују се по углу . Дакле све роот вредности -на снага комплексног броја су у врху десне стране - уписано у круг полупречника .

Пример 14. Пронађите све роот вредности -на снага комплексног броја и нацртати их на комплексној равни ако

1) , 2) 3) 4) .

Одлука . 1) Прво, проналазимо модул и аргумент комплексног броја : . Формула (5) за узмите облик

,

одакле ,

,

.

Тачке су у вертикалама регуларног троугла уписаног у круг јединственог радијуса, један корен је је прави број. Аргументи две суседне тачке се разликују по углу . Имајте на уму то .

2) овде : Због тога

,

одакле ,

,

.

Тачке су у вертикалама регуларног троугла уписаног у круг роот је прави број. Имајте на уму то . Упоредите са резултатом Пр.12.2, где сте примили и.е. .

3) овде : и на

,

одакле ,

.

4) овде и на

, одакле имамо два броја:

, .

Запамтите: .

Задатак 3. Извршите задатке пр.14, ако 1) , 2) .

Пример 15. Разлагање линеарног тројног појма у линеарне факторе.

1) ; 2) .

Одлука . 1) Размислите о квадратној једначини . Његов дискриминант . То значи да не постоје стварни корени. Од пр.14.4 прати то . Према формули за корене квадратне једначине . Примили су два сложена коњугирана корена и . У складу са пронађеним коренима, можемо распасти квадратни триномијал у линеарним факторима:

.

2) Размислите о квадратној једначини . Његов дискриминант нема праве корене. Од пр.14.4 прати то . Према формули за корене квадратне једначине . Примили су два сложена коњугирана корена и . У складу са пронађеним коренима, квадратни триномијал распуштамо у линеарне факторе:

.

Скрећемо пажњу на чињеницу да квадратна једначина са стварним коефицијентима има пар комплексних коњугираних корена .

Задатак 4. Уверите се да су екстензије линеарног фактора тачне.

; ; .

Експоненцијални облик комплексног броја. Еулерова формула (треба доказати касније) :

, (6)

омогућава вам да напишете комплексан број у индикативном облику :

где .

Из Еулерове формуле и из - учесталост сине и косина треба да буде:

.

Дакле и.е. .

Пример 16. Бројеви напишите експоненцијалну форму.

Одлука . У примеру 10 пронађено ,

, , ,

, , , . ?

Лако је проверити ваљаност односа:

Упоредите ове односе са правилима размножавања, поделе и подизања на снагу комплексних бројева у тригонометријској форми.

Пример 17. Упоредите сложене бројеве. и .

Одлука. Од пр.16: . Имајте бројеве и модули су једнаки. Истицање броја вишеструки термин замислите у облику као мултипликатор . Дакле .